Что значит «убрать чужими руками»?

Убрать чужими руками это значит убить человека чужими руками. На бандитском жаргоне убрать значит убить, либо обезвредить, сделать не делоспособным и так далее. Смотря где и как эта фраза прозвучала. Чужие руки это может быть мотивированное лицо например деньгами, если это киллер или шантажом. Либо чужими руками можно убрать манипулируя кем-то при помощи психологических приемов либо алкогольно, наркотическими или психотропными средствами.

Если коротко, то это использование чужого ресурса для своего блага. Здесь нужно понимать не только физическое устранение кого бы то ни было, но и другие возможности.

Так использовать для себя можно другого человека с его согласия или без оного (втёмную), исподволь подбивая его на действия, обеспечивающие вам определенную выгоду, а для совершающего эти действия бесперспективные или даже наносящие некий ущерб.

Есть такая пословица - "Таскать каштаны из огня чужими руками". Это почти тоже, что "убрать чужими руками".

И то и другое действие подразумевает совершить что-то опасное (или убить кого-то), но не самому, а провоцировать на такое дело и мотивировать другого человека. А самому остаться в стороне, в тени.