Как работала почта Древней Месопотамии?

Никак. Почты в современном понимании, то есть специализированной организации, ну или специализированного института по доставке корреспонденции от одного человека другому, в древнем мире не существовало. Все письма отправлялись нарочным, то есть доставку поручали конкретному человеку, которому отправитель мог доверить такое дело. Да и то сказать, что необходимость что-то куда-то оправить возникала разве что у правителей месопотомских городов да у больших чиновников, и то лишь в целях сбора военной информации или передачи указов центральной власти на места, для чего и существоли гонцы. И профессия гонцов, да, была достаточно востребованной. Тк что до некоторой степени "институт" гонцов и можно считать прообразом почтовой службы. Точнее - фельдъегерской.

У простого люда, даже и служивого, крайне редко появляласть надобность что-то кому-то отправлять, тем более куда-то в другой город. А в пределах своего запросто можно было послать кого-то из ребятни.

Иногда письма, а то и посылки, отправляли с оказией, каковой в то время были купеческие караваны.