Почему сейчас в гимне нет слов о хранении Богом президента России?

Потому что царь (монарх) в традиционном сознании отождествлялся всецело и нерушимо с государством. Тезис прост: монарх это государство, а государство - это монарх.

Президент же - это должность сменяемая, вообще-то. И вообще, прошли уже давно те времена, когда решающее и сверхглобальное даже значение можно было приписывать отдельным личностям. Давно понятно, что общество и государство слишком крупны и сложны, чтобы даже самый сверхгениальный, информированный и добросовестный индивидуум мог "сделать всё". Рулит организация и структура, а лидеры - только вишенки на торте.

И даже то, какую форму и окраску иметь этим вишенкам, определяют не они сами, а обстоятельства...

Президент и царь - это разные вещи.

Царь - это наследуемый титул, и даётся он по праву рождения. И поскольку монархия относится к традиционной форме правления, то и многие её аспекты связаны с религией.

Президент - это должность, профессия, если можно так сказать. Должность выборная и относится исключительно к светской власти.

По поводу отношения религии и власти, тут всё не так однозначно.

В христианстве, например, любая власть исходит от Бога. Бог хранил и царя, и коммунистов, и президентов, поскольку, раз они пришли ко власти, значит, Богу было так угодно. Но поскольку президент - это светская власть, то в гимне упоминать его связь с Богом смысла не имеет. Царь же связан с религией, и некоторые особенности данного титула носят сакральный смысл. Например, царь мог иметь два церковных брака: с земной женщиной и с Родной Землёй. Пусть звучит это странно, но по сути так и есть. С уроков истории в школе мы помним такое выражение "венчание на царство". Значит, царь и с Землёй ещё был повенчан, регистрировал с ней церковный брак, так сказать. И многие другие аспекты связывали царя с религией.

Так что президент связан со светской властью. Он может быть любой религии или вообще агностиком/атеистом. Так что связывать его напрямую с Богом, в особенности в гимне, не совсем уместно.