Может ли патриарх быть олигархом? Почему?

Как правильно написал/а пользователь Буквица - одно другому не мешает, особенно с учетом того, что РПЦ сейчас является по сути коммерческой организацией (подвижников в церкви осталось настолько мало, что их мнение можно не учитывать, хотя тех держат ради "бренда"). Правда это традиция, созданная императором Римской империи Константином во втором веке нашей эры, когда тот признал христианство в качестве государственной религии. Именно с тех пор служители христианского культа получили возможность безнаказанно обогащаться за счет единоверцев. До признания культа в качестве государственной религии христианское священничество было опасно для жизни самого пастыря, поскольку единобожие признавалось опасным экстремизмом, так как ставило под сомнение сакральность власти императоров.

Потому что любая должность при капитализме используется прежде всего только ради личной наживы.

Конечно - может.

Это видно на примере нынешнего патриарха-олигарха Кирилла Гундяева.